基于RBFNN代理模型的高速机车横向动力学性能多目标优化

基于 RBFNN 代理模型的高速机车横向动力学性能多目标优化 Multi-objective optimization of high-speed locomotive lateral dynamics performance based on RBFNN surrogate model first-author corresp 姚远，博士，研究员，从事机车车辆设计理论和车辆系统动力学研究；E-mail：yyuan8848@163.com 姚远，博士，研究员，从事机车车辆设计理论和车辆系统动力学研究；E-mail：yyuan8848@163.com yyuan8848@163.com 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川 成都，610031 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川 成都，610031 State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China 刘锦伟 针对高速机车横向动力学中的悬挂参数优化问题，首先，以国内某型2B0轴式高速机车为基础，采用SIMPACK软件建立该机车动力学模型；其次，以蛇行稳定性和横向平稳性指标为优化目标，同时兼顾新轮和磨耗轮2种轮轨接触状态，通过拉丁超立方试验设计方法对关键悬挂参数进行采样设计；最后，根据试验设计结果构建转向架悬挂参数映射到机车横向动力学性能的RBFNN代理模型，并利用Sobol敏感性和Pearson相关性分析方法来量化悬挂参数对优化目标的影响程度。研究结果表明：在参数给定优化范围内，机车横向动力学性能几乎不受二系横向减振器节点刚度变化的影响；而蛇行稳定性对一系纵向刚度、抗蛇行减振器节点刚度以及抗蛇行减振器阻尼较敏感，前后司机室横向平稳性对二系横向刚度最敏感，在高速机车转向架设计中应该给予重视。此外，将代理模型结合遗传算法NSGA-Ⅲ搭建快速多目标优化平台，并通过动力学仿真结果验证该平台的准确性，可有效替代车辆系统动力学模型仿真计算及优化。 Aiming at the optimization problem of suspension parameters in high-speed locomotive lateral dynamics, firstly, based on a certain type of domestic 2B0 high-speed locomotive, the locomotive dynamics model was established by SIMPACK. Secondly, key suspension parameters were designed by the method of Latin hypercube sampling, which took the evaluating indexes of hunting stability and lateral ride comfort as optimization objectives, and two types of wheel-rail contact states of new wheel and worn wheel were considered. Finally, according to the design of experiment results, a radial basis function neutral network surrogate model was established, which mapped the bogie suspension parameters to the lateral dynamics performance of high-speed locomotive. Besides, Sobol sensitivity analysis and Pearson correlation analysis methods were utilized to quantify the effect degree between the suspension parameters and optimization objectives. The results show that in the given optimization range of parameters, the lateral dynamics performance of high-speed locomotive is almost not affected by the variation of the secondary lateral damper series stiffness. Hunting stability is more sensitive to suspension parameters including the primary longitudinal stiffness, the yaw damper series stiffness, and the damping of yaw damper. Moreover, lateral ride comfort is sensitive extremely to the secondary lateral stiffness, which should be given more consideration in the bogie design of high-speed locomotive. In addition, a fast multi-objective optimization platform was built for the surrogate model through the genetic algorithm NSGA-Ⅲ, and the accuracy was verified by the results of dynamic simulation, which can effectively replace the simulation calculation and optimization of the vehicle system dynamics model. 高速机车 蛇行稳定性 横向平稳性 代理模型 多目标优化 high-speed locomotive hunting stability lateral ride comfort surrogate model multi-objective optimization http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683746&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683749&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683748&type= 14.95016479 14.95016479 随着车辆运营速度不断提高，高速机车横向动力学的研究具有越来越重要的意义。蛇行稳定性和横向平稳性作为轨道车辆横向动力学中2个非常重要的评价指标，分别保证了高速机车的运行稳定性和乘坐舒适性 [ 1 1 - 2 2 1-2 ] 。国内外学者对机车车辆横向动力学性能优化方面进行了广泛研究，YAO等 [ 3 3 ] 针对高速列车提出蛇行稳定性健壮性的概念，并考虑车辆运行速度、悬挂参数及轮轨接触等效锥度扰动的影响，对转向架关键悬挂参数进行多目标优化，得到了基于蛇行稳定性健壮性的关键悬挂参数优化匹配规则。陈迪来等 [ 4 4 ] 基于模糊数学的欧式贴近度准则，以降低系统耦合度为目标，对车辆悬挂参数进行优化设计，减弱横向耦合振动，从而改善车辆横向平稳性。AHMADIAN等 [ 5 5 ] 考虑轮轨接触和抗蛇行减振器的非线性特性，研究了系统参数对稳定性的影响，发现在一定范围内增大抗蛇行减振器阻尼会降低临界速度。PARK等 [ 6 6 ] 从阻尼参数、一系定位刚度、二系横向刚度以及轮轨蠕滑系数、轨道同向和反向激扰变化情况的综合角度，研究车辆横向平稳性。 但是，由于机车车辆动力学模型结构复杂，且影响横向动力学性能的悬挂参数较多，易产生高维、强非线性的响应，不利于快速、准确地对参数进行分析及优化设计，代理模型为此提供了有效的解决途径 [ 7 7 - 9 9 7-9 ] 。代理模型通过描述设计变量和响应之间的关系来替代动力学模型，能明显提高计算效率，具有广泛的应用前景。YANG等 [ 10 10 ] 基于轨道车辆垂向动力学模型，构建了基于平稳性的悬挂参数虚拟样机Kriging代理模型，利用MIGA算法确定了悬挂参数的优化组合。陈昌富等 [ 11 11 ] 采用最小二乘支持向量机代理模型对地基沉降进行分析，并通过有限元模型证实了分析结果的可靠性。KHAIRY等 [ 12 12 ] 应用多项式回归、Kriging、径向基函数逼近和径向基函数神经网络4种代理模型进行鲁棒参数优化设计，验证了代理模型在模拟工程问题方面优异的非线性拟合能力。 本文通过SIMPACK建立了90自由度的高速机车动力学模型。选取与机车横向动力学性能密切相关的8个关键转向架悬挂参数进行拉丁超立方采样设计，通过仿真计算高速机车蛇行稳定性和横向平稳性指标，并且构建径向基函数神经网络代理模型，采用Sobol全局敏感性和Pearson相关性分析方法量化悬挂参数对横向动力学性能的影响程度。最后，结合NSGA-Ⅲ算法构建代理模型快速多目标优化平台并验证其准确性，为高速机车横向动力学性能优化及悬挂参数设计提供了一定的理论基础和思路。 1 动力学建模 1 1.1 　高速机车动力学模型 2 根据国内某型2B0轴式高速机车的结构及悬挂参数，通过SIMPACK软件建立对应的动力学模型，如 图1 图1 所示，模型主要参数组见 表1 表1 。该模型由刚体、铰接、力元和约束等元素构成，其中，刚体包括1个车体、2个构架、4个轮对、4个电机、8个轴箱转臂、2个牵引拉杆及4个空心轴。一系悬挂作用于构架和轮对之间，其垂向刚度由一系轴箱弹簧提供，纵向和横向刚度由转臂定位提供。二系悬挂作用于车体和构架之间，主要由垂向减振器、抗蛇行减振器、二系横向减振器和高圆弹簧组成，并考虑了二系横向止挡和抗侧滚扭杆。 参数 数值 轴距/m 2.9 定距/m 9 车体质量/t 42 一系横向刚度/(kN∙m -1 ) 3 500 抗蛇行减振器阻尼/(kN∙s∙m -1 ) 800 车体、构架、轮对及电机均有6个自由度，空心轴相对轮对有横移、摇头和侧滚3个自由度，牵引拉杆相对车体有点头和摇头2个自由度，轴箱转臂有1个绕车轴旋转的自由度，整个模型共90个自由度。钢轨采用标准CHN60型面，轨距为 1 435 mm，踏面采用JM3磨耗型踏面，并将武广线路实测轨道不平顺加于直线轨道。 1.2 　模型验证 2 为了验证动力学模型的准确性，对上述机车动力学模型进行时域仿真，并与线路试验结果比较 [ 13 13 ] 。 图2 图2 所示为机车横向平稳性指标和车体横向加速度的对比结果。由 图2 图2 可见：横向平稳性指标和车体横向加速度的仿真计算与线路试验规律一致，动力学模型的准确性得以验证。 (a) 机车横向平稳性指标；(b) 车体横向加速度 2 构建代理模型 1 2.1 　 RBFNN 代理模型理论 2 常见的代理模型有Kriging代理模型、神经网络代理模型、响应面代理模型等，作为神经网络代理模型的一种，径向基函数神经网络(radial basis function neutral network，RBFNN)代理模型由于优异的逼近能力和更快的学习速度而得到广泛应用，是一种由输入层、单个隐藏层以及输出层组成的三层前馈网络，结构特点如 图3 图3 所示 [ 12 12 ] 。输入层将 m 个输入参数以向量 x = [ x 1 ， x 2 ，…， x m ] T 的形式导入模型，由隐藏层神经元进行非线性变换，再由输出层进行线性变换，最终得到由 n 个响应组成的输出向量 y = [ y 1 ， y 2 ，…， y n ] T 。 理论上，RBFNN具有逼近任意复杂非线性映射的能力，即 <math display="block" id="M1"><mi>f</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mo>→</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683692&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683683&type= 18.37266731 3.72533321 根据定义，输出响应的计算公式如下： <math display="block" id="M2"><mi mathvariant="bold-italic">y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683694&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683693&type= 46.65133286 8.72066593 式中： x ∈ R m ； y ∈ R n ； h 为隐藏层神经元个数； u i 为隐藏层隐藏节点的中心向量， u i ∈ R m ； b 0 为偏置值； w i 为权值； <math id="M3"><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mo>⋅</mo></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683685&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683684&type= 3.97933316 3.72533321 为欧几里德范数； ϕ (·)为高斯径向基函数。 受到径向基函数局部特性的影响，如果 x 离 u i 越远，神经元的激活程度越低，模型拟合能力就越差。引入 K- means聚类算法，使代理模型从输入向量中自组织地选择 u i ，以动态调节的方式来提高神经元的激活程度 [ 14 14 ] 。 2.2 　拉丁超立方试验设计 2 设计参数采样的质量直接影响到代理模型的精度，而拉丁超立方采样可以充分保证样本空间的投影均匀性，有效提高采样质量 [ 15 15 - 16 16 15-16 ] 。因此，采用拉丁超立方采样对悬挂参数进行试验设计，并对试验设计结果进行参数分析。 考虑 图4 图4 所示的新轮和磨耗轮2种车轮踏面，将相应的轮轨接触工况定义为正常锥度和高锥度工况，轮轨接触工况参数的具体值如 表2 表2 所示，并以机车蛇行稳定性和横向平稳性为优化目标，对8个参数进行采样设计。设置采样次数为1 000次，参数采样范围如 表3 表3 所示。然后，通过建立的MATLAB/SIMPACK联合仿真界面对采样后的悬挂参数组合进行仿真计算，提取对应的线性稳定性指标和横向平稳性指标，分别用来评价机车蛇行稳定性和横向平稳性性能。 工况 踏面 轨底坡率 等效锥度 正常锥度 新轮 1/40 0.10 高锥度 磨耗轮 1/40 0.40 设计参数 最小值 最大值 一系纵向刚度 k p x /(kN∙m -1 ) 10 000 50 000 一系横向刚度 k p y /(kN∙m -1 ) 2 000 10 000 二系纵向刚度 k s x /(kN∙m -1 ) 100 500 二系横向刚度 k s y /(kN∙m -1 ) 100 500 抗蛇行减振器阻尼 c s x /(kN∙s∙m -1 ) 400 1 600 二系横向减振器阻尼 c s y /(kN∙s∙m -1 ) 20 60 节点刚度 k ncs x /(kN∙m -1 ) 10 000 50 000 节点刚度 k ncs y /(kN∙m -1 ) 10 000 50 000 2.3 　代理模型的构建及验证 2 根据拉丁超立方采样及联合仿真结果，以上述8个关键悬挂参数作为输入，蛇行稳定性和横向平稳性作为输出，采用Python语言来构建RBFNN代理模型，以决定系数 R 2 来验证代理模型的准确性 [ 17 17 ] 。 R 2 可以反映回归贡献的相对程度， R 2 越接近于1，代理模型的拟合效果越好，其计算公式如下： <math display="block" id="M4"><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo>-</mo><mover accent="true"><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mi>y</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo>-</mo><mover accent="true"><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683700&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683703&type= 23.45266724 19.55800056 式中： y j 为代理模型预测值； <math id="M5"><msub><mrow><mover accent="true"><mi>y</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683704&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683701&type= 2.79399991 4.74133301 为SIMPACK仿真值； <math id="M6"><mover accent="true"><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683718&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683702&type= 1.94733346 3.38666677 为仿真值均值。 为确定使代理模型最为准确时所对应的最佳聚类簇数，设置了不同的初始聚类簇数 d 来观察决定系数的变化如 图5 图5 所示。由 图5 图5 可见： d =350时为最佳聚类簇数，代理模型隐藏层神经元的激活程度最高，线性稳定性指标 ζ 、前司机室平稳性指标 W y f 和后司机室平稳性指标 W y b 的 R 2 达0.9以上，均值高达0.95。 因此，取 d =350来构建代理模型，此时SIMPACK仿真值与代理模型预测值的数值对比如 图6 图6 所示。由 图6 图6 可知：SIMPACK仿真值与代理模型预测值十分接近。一般来说，当决定系数达到0.8以上时，拟合效果可视为良好。因此，本文构建的代理模型准确性得以验证。 (a) 线性稳定性指标；(b) 前司机室平稳性指标； (c) 后司机室平稳性指标 3 敏感性和相关性分析 1 3.1 　 Sobol 全局敏感性分析 2 采样后的参数组合在多维空间中相当分散，且数据量较多，动力学模型计算复杂，不易于分析参数对优化目标的影响程度。因此，本文基于RBFNN代理模型进行全局敏感性分析。常见的全局敏感性分析方法包括回归分析法、傅里叶幅值分析法、基于方差的分析法等 [ 18 18 - 20 20 18-20 ] 。采用基于方差的Sobol全局敏感性分析方法，计算悬挂参数对横向动力学指标的方差贡献，评估各参数的敏感性，计算公式如下 [ 19 19 ] ： 假设输入样本 x 与响应 y 之间的关系为 <math display="block" id="M7"><mi mathvariant="bold-italic">y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683725&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683724&type= 36.99933624 4.48733330 式中： x =[ x 1 ， x 2 ，…， x m ] T 为悬挂参数数值， m =8； y= [ y 1 ， y 2 ，…， y n ] T 为横向动力学指标， n =3。 f ( x )以函数和的形式分解为 <math display="block" id="M8"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo>+</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683727&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683726&type= 31.66533470 8.72066593 <math display="block" id="M9"><munder><mo movablelimits="false">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo><</mo><mi>g</mi><mo>≤</mo><mi>m</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>g</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>g</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo></mrow><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683729&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683728&type= 57.57332993 7.28133297 式中： f 0 表示常数，且该分解形式是唯一的。 f ( x )的总方差 D 和 s 阶偏方差 D i 1, i 2, …, is 表示为： <math display="block" id="M10"><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo>=</mo><mo>∫</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683706&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683730&type= 27.34733391 6.43466663 <math display="block" id="M11"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mi>i</mi><mi>s</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mi>i</mi><mi>s</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>s</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>s</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683708&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683707&type= 80.68733978 10.32933331 针对第 j 个优化目标 y j 所对应的输入参数 x i 的 s 阶敏感性系数为 <math display="block" id="M12"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mi>i</mi><mi>s</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mi>i</mi><mi>s</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>s</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683710&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683709&type= 53.08599854 8.38199997 因此，对应 x i 的全局敏感性系数 <math id="M13"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683712&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683711&type= 2.70933342 3.72533321 表示为 <math display="block" id="M14"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683731&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683713&type= 41.74066544 3.72533321 根据上述公式，计算悬挂参数对优化目标的Sobol全局敏感性系数 S t 。 图7 图7 (a)和 图7 图7 (b)所示分别为正常锥度和高锥度轮轨接触状态的敏感性分析结果。 (a) 正常锥度工况；(b) 高锥度工况 敏感性系数越大，说明优化目标对该参数越敏感；反之，代表该参数的变化对优化目标影响很小。由 图7 图7 可见：正常锥度和高锥度轮轨接触状态下的横向动力学性能对 k s y 表现敏感，在平稳性方面尤为突出；高锥度轮轨接触状态下的稳定性则对 k ncs x 表现更为敏感。2种状态下的稳定性和平稳性对 k p x 和 c s x 较为敏感，尤其是稳定性；稳定性和平稳性则对 c s y ， k p y ， k s x 和 k ncs y 影响较小，尤其是对 k ncs y 来说，其敏感性系数基本为0，故认为机车横向动力学性能几乎不受 k ncs y 变化的影响。 3.2 　相关性分析 2 为了更准确地分析参与优化的悬挂参数对横向动力学指标的影响，对总体参数和指标集进行广义线性回归分析 [ 21 21 - 22 22 21-22 ] 。悬挂参数 x 与横向动力学指标 y 之间的Pearson相关性系数 ρ x , y 的计算公式如下： <math display="block" id="M15"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">v</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="bold-italic">y</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683733&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683717&type= 22.60600090 8.55133343 式中：cov( x ， y )表示总体协方差； σ x 和 σ y 分别为 x 和 y 的标准差。 根据上述公式，计算各悬挂参数与分析目标之间的相关性系数，如 图8 图8 所示。由 图8 图8 可见：增大 k p y 和 k s x 能够提高2种轮轨接触状态下的稳定性和平稳性，选取给定优化范围内 k p y 和 k s x 的较大值更为合适；减小 k p x ， k s y ， c s x 和 k ncs x 能够提高稳定性和平稳性，选取这4个参数给定优化范围内的较小值则更为合适。而对于 k ncs y 来说，它与平稳性及稳定性指标之间几乎没有相关性。 (a) 正常锥度工况；(b) 高锥度工况 另外，与稳定性的相关性系数较大的参数是 k p x ， k s y ， k ncs x ， c s x ， k p y ， k s x 和 c s y ，与平稳性的相关性系数最大的参数是 k s y ， c s x ， k p x ， k p y ， c s y ， k ncs x 和 k s x 。这与3.1节中敏感性分析结果基本对应，其关键影响参数是一致的。 4 多目标优化 1 基于2.3节中的RBFNN代理模型，结合遗传算法构建快速多目标优化平台。较常用的遗传算法NSGA-Ⅱ而言，NSGA-Ⅲ算法通过高维目标下的分布参考点来维持种群多样性，更适用于3个及以上的高维多目标优化问题 [ 23 23 - 24 24 23-24 ] 。此外，无论是在正常锥度还是高锥度轮轨接触状态下，后司机室横向平稳性比前司机室横向平稳性差，且通过相关性分析可知，前、后司机室横向平稳性之间呈较强的正相关，因此，优化目标应重点关注后司机室横向平稳性。本节以上述2种轮轨接触状态下的蛇行稳定性和后司机室横向平稳性为目标，根据3.1~3.2节中的分析结果，结合代理模型采用NSGA-Ⅲ算法进行多目标优化设计，优化方向为该4个目标取较小值，优化问题表示形式如下： <math display="block" id="M16"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">{</mo><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">h</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">h</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">h</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">}</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683738&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43683737&type= 43.43399811 4.48733330 设置最优个体系数为0.1，交叉概率为0.9。 图9 图9 所示为多目标优化的Pareto前沿， 图9 图9 中， ζ norm 为正常锥度线性稳定性指标， ζ high 为高锥度线性稳定性指标， W y norm 为正常锥度后司机室横向平稳性指标， W y high 为高锥度后司机室横向平稳性指标，点越大、颜色越深代表横向平稳性指标越小，横向平稳性越好。由 图9 图9 可见： ζ norm 和 ζ high 之间呈较强负相关趋势，而 ζ norm 和 W y norm 之间呈较强正相关趋势，即当正常锥度稳定性较好时，机车横向平稳性较好，但高锥度稳定性较差。 多目标优化得出220组Pareto优化解集，为验证优化结果的有效性，从Pareto优化解集中随机选取3组优化解( P 1 、 P 2 和 P 3 )，将对应的悬挂参数输入SIMPACK动力学仿真模型中进行仿真计算，并与代理模型优化预测值进行比较。 表4 表4 和 表5 表5 所示分别为悬挂参数代理模型预测值与动力学仿真值的对比和相对误差。 编号 类型 ζ norm ζ high W y norm W y high 2 P 1 预测值 -0.251 6 -0.215 2 2.089 9 2.009 6 仿真值 -0.241 4 -0.211 3 2.051 3 1.929 4 2 P 2 预测值 -0.212 8 -0.258 6 2.125 8 2.048 4 仿真值 -0.205 5 -0.253 6 2.160 7 2.024 3 2 P 3 预测值 -0.156 5 -0.294 4 2.210 4 2.096 3 仿真值 -0.158 0 -0.283 0 2.235 1 2.084 6 编号 ζ norm ζ high W y norm W y high P 1 4.23 1.85 1.88 4.16 P 2 3.55 1.97 1.62 1.19 P 3 0.95 4.03 1.11 0.56 % 由 表4 表4 和 表5 表5 可知：正常锥度线性稳定性指标的多目标优化预测值与仿真值之间的相对误差较其余3个目标来说普遍偏大，均值达2.92%，但所有目标的相对误差均低于5%，最低误差仅为0.56%，远远低于工程上10%的误差界限，这进一步证明了构建代理模型进行多目标优化的有效性。此外，文中所使用的PC配置为Windows 10系统、8 GB内存、i7-7500U处理器。在相同配置及工况下，运用动力学模型的非线性多目标优化需耗时48 h以上，而运用快速多目标优化平台的仿真计算及优化耗时约为36 s，可见基于代理模型的快速多目标优化平台计算速度也要远比运用动力学模型的多目标优化的速度快。 5 结论 1 1) 针对2B0轴式高速机车多目标优化得到的Pareto前沿显示，在新轮状态下，蛇行稳定性和横向平稳性存在较强的正相关关系；在磨耗轮状态下，车体横向平稳性一般较好。由于新轮、磨耗轮状态下的蛇行稳定性对悬挂参数的需求存在一定的矛盾性，因此在高速机车设计中不应仅考虑单一轮轨状态下的蛇行稳定性，应当选取能够兼顾这2种轮轨接触状态下蛇行稳定性的悬挂参数组合。 2) 选取一系横向刚度、二系纵向刚度在优化范围内的较大值，并选取一系纵向刚度、二系横向刚度、抗蛇行减振器阻尼和节点刚度在优化范围内的较小值，能够兼顾不同轮轨接触状态的机车横向动力学性能。其中，一系纵向刚度、二系横向刚度、抗蛇行减振器阻尼及节点刚度对机车横向动力学性能影响较大。 3) 采用Python语言构建的径向基函数神经网络代理模型平均预测精度高达0.95以上，能够有效替代SIMPACK动力学模型进行仿真计算，极大地减少计算工作量，并结合NSGA-Ⅲ遗传算法成功构建代理模型快速多目标优化平台，从而显著地提高多目标优化的计算效率。 参考文献 YAO Yuan , LI Guang , SARDAHI Y , et al . 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